ヒートポンプの成績係数（COP）の求め方 【技術士一次試験】

今回は、ヒートポンプの成績係数について学習します。

カルノーサイクルと逆カルノーサイクル

カルノーサイクル

高温と低温の熱源があった場合、熱エネルギーは高温から低温へ移動していきます。

カルノーサイクルは高温熱源（温度$T_h$）から低温熱源（温度$T_c$）に移動する熱の一部を仕事$W$として取り出すものです。

火力発電などがこれにあたります。

この取り出す仕事$W$は、熱機関が高温熱源から受け取る熱エネルギーを$Q_h$、熱機関から低温熱源へ移動する熱エネルギーを$Q_c$とすると、

$$W=Q_h-Q_c$$

となります。

逆カルノーサイクル

逆カルノーサイクルはカルノーサイクルとは逆の向きに熱エネルギーが移動します。

通常、低温から高温へ熱エネルギーは移動しません。

そこで、外部から仕事$W$を入力することで、低温熱源（温度$T_c$）から、高温熱源（温度$T_h$）へ移動させます。

ヒートポンプなどがこれにあたります。

ここで入力した仕事$W$も同様にこのように表せます。

$$W=Q_h-Q_c$$

成績係数: COP

ヒートポンプなどの性能を洗わう指標としてCOP(Coefficient of Performance)があります。

以下の式によって定義されます。

成績係数: COP(Coefficient of Performance)

$$COP=\frac{Q}{W}$$

• $Q$: 温度維持のために供給される熱量
• $W$: 使用される仕事（電力）

たとえば、逆カルノーサイクルの場合のCOPは、

$$COP=\frac{Q_h}{W}=\frac{Q_h}{Q_h-Q_c}$$

となります。

エントロピー

熱力学においてエントロピーは分子の乱雑さを示し、以下の式で表現されます。

エントロピー変化

$$\Delta S=\frac{\Delta Q}{T}$$

• $\Delta S$: エントロピー増加量
• $\Delta Q$: 熱量の変化量

エントロピー

$$S=\frac{Q}{T}$$

• $S$: エントロピー
• $Q$: 熱量

このエントロピーは「不可逆変化」の際には増大します（$\Delta S>0$）。

「可逆変化」の場合には変化しません（$\Delta S=0$）。

カルノーサイクルは逆変化（逆カルノーサイクル）できる熱サイクルですので、エントロピー$S$は一定のままです。

よって、以下の式が成り立ちます。

$$S=\frac{Q_h}{T_h}=\frac{Q_c}{T_c}=const$$

熱効率

COPと紛らわしい言葉として「熱効率」があります。

熱効率$\eta$は次の定義で示されます。

熱効率

$$\eta=\frac{W}{Q}$$

• $W$: 正味の仕事
• $Q$: 入力された熱量

たとえばカルノーサイクルの熱効率$\eta$は、

$$\eta=\frac{W}{Q}$$

$$=\frac{W}{Q_h}$$

$$=\frac{Q_h-Q_c}{Q_h}$$

となります。カルノーサイクルは可逆変化ですので、$\frac{Q_h}{T_h}=\frac{Q_c}{T_c}$であることを加味すると、

$$\eta=\frac{W}{Q_h}$$

$$=\frac{Q_h-Q_c}{Q_h}$$

$$=\frac{T_h-T_c}{T_h}$$

とすることもできます。

問題

問題画像は公益社団法人日本技術士会ホームページからダウンロードしたものです。

【令和3年度技術士一次試験[専門科目]　機械部門 Ⅲ-23】

【解答】

問題文より、電気エネルギーによって低温熱源から高温熱源に熱を移動させる「逆カルノーサイクル」であることがわかります。

逆カルノーサイクルでは、エントロピーが一定: $\frac{Q_h}{T_h}=\frac{Q_c}{T_c}$より、COPは以下のようになります。

$$COP=\frac{Q_h}{W}$$

$$=\frac{Q_h}{Q_h-Q_c}$$

$$=\frac{T_h}{T_h-T_c}$$

$$=\frac{(23+273)}{(23+273)-(2.0+273)}$$

$$=\frac{296}{296-275}$$

$$=14.1$$

必要になる電力$W$は、

$$W=\frac{Q_h}{COP}=\frac{2.8\times10^3}{14.1}=198.6$$

よって、正解は③です。

まとめ

今回は、ヒートポンプのCOPに関する問題を扱いました。

COPの問題は過去にも技術士一次試験に出題されています。

ほかの過去問もぜひ確認してください。